\(\int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx\) [605]

Optimal result

Integrand size = 35, antiderivative size = 662 \[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (3705 a^4 A b+255 a^2 A b^3+40 A b^5+1617 a^5 B+3069 a^3 b^2 B-110 a b^4 B\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) E\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right )|-\frac {a+b}{a-b}\right ) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 a^4 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (40 A b^4+3 a^4 (225 A-539 B)-6 a^3 b (505 A-209 B)+15 a^2 b^2 (19 A-121 B)+10 a b^3 (3 A-11 B)\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \operatorname {EllipticF}\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right ),-\frac {a+b}{a-b}\right ) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 a^3 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 \left (675 a^4 A+1025 a^2 A b^2-20 A b^4+1793 a^3 b B+55 a b^3 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a^2 d}+\frac {2 \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a d}+\frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d} \]

[Out]

2/11*a*A*(a+b*cos(d*x+c))^(3/2)*sec(d*x+c)^(11/2)*sin(d*x+c)/d+2/3465*(675*A*a^4+1025*A*a^2*b^2-20*A*b^4+1793*
B*a^3*b+55*B*a*b^3)*sec(d*x+c)^(3/2)*sin(d*x+c)*(a+b*cos(d*x+c))^(1/2)/a^2/d+2/3465*(1145*A*a^2*b+15*A*b^3+539
*B*a^3+825*B*a*b^2)*sec(d*x+c)^(5/2)*sin(d*x+c)*(a+b*cos(d*x+c))^(1/2)/a/d+2/693*(81*A*a^2+113*A*b^2+209*B*a*b
)*sec(d*x+c)^(7/2)*sin(d*x+c)*(a+b*cos(d*x+c))^(1/2)/d+2/99*a*(14*A*b+11*B*a)*sec(d*x+c)^(9/2)*sin(d*x+c)*(a+b
*cos(d*x+c))^(1/2)/d+2/3465*(a-b)*(3705*A*a^4*b+255*A*a^2*b^3+40*A*b^5+1617*B*a^5+3069*B*a^3*b^2-110*B*a*b^4)*
csc(d*x+c)*EllipticE((a+b*cos(d*x+c))^(1/2)/(a+b)^(1/2)/cos(d*x+c)^(1/2),((-a-b)/(a-b))^(1/2))*(a+b)^(1/2)*cos
(d*x+c)^(1/2)*(a*(1-sec(d*x+c))/(a+b))^(1/2)*(a*(1+sec(d*x+c))/(a-b))^(1/2)/a^4/d/sec(d*x+c)^(1/2)+2/3465*(a-b
)*(40*A*b^4+3*a^4*(225*A-539*B)-6*a^3*b*(505*A-209*B)+15*a^2*b^2*(19*A-121*B)+10*a*b^3*(3*A-11*B))*csc(d*x+c)*
EllipticF((a+b*cos(d*x+c))^(1/2)/(a+b)^(1/2)/cos(d*x+c)^(1/2),((-a-b)/(a-b))^(1/2))*(a+b)^(1/2)*cos(d*x+c)^(1/
2)*(a*(1-sec(d*x+c))/(a+b))^(1/2)*(a*(1+sec(d*x+c))/(a-b))^(1/2)/a^3/d/sec(d*x+c)^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 3.69 (sec) , antiderivative size = 662, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.200, Rules used = {3040, 3068, 3126, 3134, 3077, 2895, 3073} \[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\frac {2 \left (81 a^2 A+209 a b B+113 A b^2\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{693 d}+\frac {2 \left (539 a^3 B+1145 a^2 A b+825 a b^2 B+15 A b^3\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{3465 a d}+\frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (3 a^4 (225 A-539 B)-6 a^3 b (505 A-209 B)+15 a^2 b^2 (19 A-121 B)+10 a b^3 (3 A-11 B)+40 A b^4\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} \operatorname {EllipticF}\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right ),-\frac {a+b}{a-b}\right )}{3465 a^3 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 \left (675 a^4 A+1793 a^3 b B+1025 a^2 A b^2+55 a b^3 B-20 A b^4\right ) \sin (c+d x) \sec ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{3465 a^2 d}+\frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (1617 a^5 B+3705 a^4 A b+3069 a^3 b^2 B+255 a^2 A b^3-110 a b^4 B+40 A b^5\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (\sec (c+d x)+1)}{a-b}} E\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right )|-\frac {a+b}{a-b}\right )}{3465 a^4 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 a (11 a B+14 A b) \sin (c+d x) \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{99 d}+\frac {2 a A \sin (c+d x) \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) (a+b \cos (c+d x))^{3/2}}{11 d} \]

[In]

Int[(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(13/2),x]

[Out]

(2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*S
qrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -(
(a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1 + Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^4*d*Sqrt[
Sec[c + d*x]]) + (2*(a - b)*Sqrt[a + b]*(40*A*b^4 + 3*a^4*(225*A - 539*B) - 6*a^3*b*(505*A - 209*B) + 15*a^2*b
^2*(19*A - 121*B) + 10*a*b^3*(3*A - 11*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]]*Csc[c + d*x]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Cos[c +
d*x]]/(Sqrt[a + b]*Sqrt[Cos[c + d*x]])], -((a + b)/(a - b))]*Sqrt[(a*(1 - Sec[c + d*x]))/(a + b)]*Sqrt[(a*(1
+ Sec[c + d*x]))/(a - b)])/(3465*a^3*d*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (2*(675*a^4*A + 1025*a^2*A*b^2 - 20*A*b^4 + 1793*
a^3*b*B + 55*a*b^3*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(3/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a^2*d) + (2*(1145*a^2*A*
b + 15*A*b^3 + 539*a^3*B + 825*a*b^2*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(5/2)*Sin[c + d*x])/(3465*a*d) +
(2*(81*a^2*A + 113*A*b^2 + 209*a*b*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(7/2)*Sin[c + d*x])/(693*d) + (2*
a*(14*A*b + 11*a*B)*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sec[c + d*x]^(9/2)*Sin[c + d*x])/(99*d) + (2*a*A*(a + b*Cos[c + d
*x])^(3/2)*Sec[c + d*x]^(11/2)*Sin[c + d*x])/(11*d)

Rule 2895

Int[1/(Sqrt[(d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*(
Tan[e + f*x]/(a*f))*Rt[(a + b)/d, 2]*Sqrt[a*((1 - Csc[e + f*x])/(a + b))]*Sqrt[a*((1 + Csc[e + f*x])/(a - b))]
*EllipticF[ArcSin[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[d*Sin[e + f*x]]/Rt[(a + b)/d, 2]], -(a + b)/(a - b)], x] /; Fr
eeQ[{a, b, d, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && PosQ[(a + b)/d]

Rule 3040

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_.)*((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.
) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[(g*Csc[e + f*x])^p*(g*Sin[e + f*x])^p, Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*((
c + d*Sin[e + f*x])^n/(g*Sin[e + f*x])^p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0] &&  !IntegerQ[p] &&  !(IntegerQ[m] && IntegerQ[n])

Rule 3068

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(B*c - A*d)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1
)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Si
n[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[b*(b*c - a*d)*(B*c - A*d)*(m - 1) + a*d*(a*A*c + b*B*c -
(A*b + a*B)*d)*(n + 1) + (b*(b*d*(B*c - A*d) + a*(A*c*d + B*(c^2 - 2*d^2)))*(n + 1) - a*(b*c - a*d)*(B*c - A*
d)*(n + 2))*Sin[e + f*x] + b*(d*(A*b*c + a*B*c - a*A*d)*(m + n + 1) - b*B*(c^2*m + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^
2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2
, 0] && GtQ[m, 1] && LtQ[n, -1]

Rule 3073

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[-2*A*(c - d)*(Tan[e + f*x]/(f*b*c^2))*Rt[(c + d)/b, 2]*Sqrt[c*((1 + Csc[e +
f*x])/(c - d))]*Sqrt[c*((1 - Csc[e + f*x])/(c + d))]*EllipticE[ArcSin[Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]/Sqrt[b*Sin[e +
f*x]]/Rt[(c + d)/b, 2]], -(c + d)/(c - d)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ
[A, B] && PosQ[(c + d)/b]

Rule 3077

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 3126

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)
*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
(c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*
c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \left (\sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {(a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x))}{\cos ^{\frac {13}{2}}(c+d x)} \, dx \\ & = \frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {1}{11} \left (2 \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)} \left (\frac {1}{2} a (14 A b+11 a B)+\frac {1}{2} \left (9 a^2 A+11 A b^2+22 a b B\right ) \cos (c+d x)+\frac {1}{2} b (6 a A+11 b B) \cos ^2(c+d x)\right )}{\cos ^{\frac {11}{2}}(c+d x)} \, dx \\ & = \frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {1}{99} \left (4 \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {\frac {1}{4} a \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right )+\frac {1}{4} \left (233 a^2 A b+99 A b^3+77 a^3 B+297 a b^2 B\right ) \cos (c+d x)+\frac {3}{4} b \left (46 a A b+22 a^2 B+33 b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx \\ & = \frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {\left (8 \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {\frac {1}{8} a \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right )+\frac {1}{8} a \left (405 a^3 A+1531 a A b^2+1507 a^2 b B+693 b^3 B\right ) \cos (c+d x)+\frac {1}{2} a b \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{693 a} \\ & = \frac {2 \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a d}+\frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {\left (16 \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {\frac {3}{16} a \left (675 a^4 A+1025 a^2 A b^2-20 A b^4+1793 a^3 b B+55 a b^3 B\right )+\frac {1}{16} a^2 \left (5055 a^2 A b+2305 A b^3+1617 a^3 B+6655 a b^2 B\right ) \cos (c+d x)+\frac {1}{8} a b \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)}{\cos ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3465 a^2} \\ & = \frac {2 \left (675 a^4 A+1025 a^2 A b^2-20 A b^4+1793 a^3 b B+55 a b^3 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a^2 d}+\frac {2 \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a d}+\frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {\left (32 \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {\frac {3}{32} a \left (3705 a^4 A b+255 a^2 A b^3+40 A b^5+1617 a^5 B+3069 a^3 b^2 B-110 a b^4 B\right )+\frac {3}{32} a^2 \left (675 a^4 A+3315 a^2 A b^2+10 A b^4+2871 a^3 b B+1705 a b^3 B\right ) \cos (c+d x)}{\cos ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{10395 a^3} \\ & = \frac {2 \left (675 a^4 A+1025 a^2 A b^2-20 A b^4+1793 a^3 b B+55 a b^3 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a^2 d}+\frac {2 \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a d}+\frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d}+\frac {\left ((a-b) \left (40 A b^4+3 a^4 (225 A-539 B)-6 a^3 b (505 A-209 B)+15 a^2 b^2 (19 A-121 B)+10 a b^3 (3 A-11 B)\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {1}{\sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3465 a^2}+\frac {\left (\left (3705 a^4 A b+255 a^2 A b^3+40 A b^5+1617 a^5 B+3069 a^3 b^2 B-110 a b^4 B\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \sqrt {\sec (c+d x)}\right ) \int \frac {1+\cos (c+d x)}{\cos ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sqrt {a+b \cos (c+d x)}} \, dx}{3465 a^2} \\ & = \frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (3705 a^4 A b+255 a^2 A b^3+40 A b^5+1617 a^5 B+3069 a^3 b^2 B-110 a b^4 B\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) E\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right )|-\frac {a+b}{a-b}\right ) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 a^4 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 (a-b) \sqrt {a+b} \left (40 A b^4+3 a^4 (225 A-539 B)-6 a^3 b (505 A-209 B)+15 a^2 b^2 (19 A-121 B)+10 a b^3 (3 A-11 B)\right ) \sqrt {\cos (c+d x)} \csc (c+d x) \operatorname {EllipticF}\left (\arcsin \left (\frac {\sqrt {a+b \cos (c+d x)}}{\sqrt {a+b} \sqrt {\cos (c+d x)}}\right ),-\frac {a+b}{a-b}\right ) \sqrt {\frac {a (1-\sec (c+d x))}{a+b}} \sqrt {\frac {a (1+\sec (c+d x))}{a-b}}}{3465 a^3 d \sqrt {\sec (c+d x)}}+\frac {2 \left (675 a^4 A+1025 a^2 A b^2-20 A b^4+1793 a^3 b B+55 a b^3 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {3}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a^2 d}+\frac {2 \left (1145 a^2 A b+15 A b^3+539 a^3 B+825 a b^2 B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {5}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{3465 a d}+\frac {2 \left (81 a^2 A+113 A b^2+209 a b B\right ) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {7}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{693 d}+\frac {2 a (14 A b+11 a B) \sqrt {a+b \cos (c+d x)} \sec ^{\frac {9}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{99 d}+\frac {2 a A (a+b \cos (c+d x))^{3/2} \sec ^{\frac {11}{2}}(c+d x) \sin (c+d x)}{11 d} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(4198\) vs. \(2(662)=1324\).

Time = 24.74 (sec) , antiderivative size = 4198, normalized size of antiderivative = 6.34 \[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(a + b*Cos[c + d*x])^(5/2)*(A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^(13/2),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]*((2*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*
a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sin[c + d*x])/(3465*a^3) + (2*Sec[c + d*x]^4*(23*a*A*b*Sin[c + d*x] + 11*a^2*B*Sin[c
+ d*x]))/99 + (2*Sec[c + d*x]^3*(81*a^2*A*Sin[c + d*x] + 113*A*b^2*Sin[c + d*x] + 209*a*b*B*Sin[c + d*x]))/693
+ (2*Sec[c + d*x]^2*(1145*a^2*A*b*Sin[c + d*x] + 15*A*b^3*Sin[c + d*x] + 539*a^3*B*Sin[c + d*x] + 825*a*b^2*B
*Sin[c + d*x]))/(3465*a) + (2*Sec[c + d*x]*(675*a^4*A*Sin[c + d*x] + 1025*a^2*A*b^2*Sin[c + d*x] - 20*A*b^4*Si
n[c + d*x] + 1793*a^3*b*B*Sin[c + d*x] + 55*a*b^3*B*Sin[c + d*x]))/(3465*a^2) + (2*a^2*A*Sec[c + d*x]^4*Tan[c
+ d*x])/11))/d + (2*((-247*a^2*A*b)/(231*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (17*A*b^3)/(231*Sqrt[a
+ b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (8*A*b^5)/(693*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (7*
a^3*B)/(15*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) - (31*a*b^2*B)/(35*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c
+ d*x]]) + (2*b^4*B)/(63*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[c + d*x]]) + (15*a^3*A*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(77*S
qrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (26*a*A*b^2*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (7*A*b^4*Sqrt[Sec[
c + d*x]])/(99*a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (8*A*b^6*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(693*a^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) +
(38*a^2*b*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(105*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (124*b^3*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(315*Sqrt[a +
b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^5*B*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(63*a^2*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (247*a*A*b^2*Cos[2*(c + d
*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (17*A*b^4*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(231*
a*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (8*A*b^6*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(693*a^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]])
- (7*a^2*b*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(15*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) - (31*b^3*B*Cos[2*(c + d*x)]*
Sqrt[Sec[c + d*x]])/(35*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]) + (2*b^5*B*Cos[2*(c + d*x)]*Sqrt[Sec[c + d*x]])/(63*a^2*Sqrt
[a + b*Cos[c + d*x]]))*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(-2*(a + b)*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*
b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x
])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(40*A*b^4
- 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A + 121*B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[C
os[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(
c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110
*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3465*a^3*d*Sqrt[a + b*Cos[c
+ d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*((b*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Sin[c + d*x]*(-2*(a + b)*(3705*a^4
*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*
x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a +
b)] + 2*a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A + 121*B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3
*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*
x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*
a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/
(3465*a^3*(a + b*Cos[c + d*x])^(3/2)*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) - (Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*Tan[(c
+ d*x)/2]*(-2*(a + b)*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*S
qrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[ArcSin[
Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A + 121*
B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c
+ d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (3705*a^4*A*b +
255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c
+ d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2]))/(3465*a^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]) + (2*Sqrt[Cos[(c
+ d*x)/2]^2*Sec[c + d*x]]*(-1/2*((3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*
a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^4) - ((a + b)*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A
*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Elli
pticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c +
d*x]/(1 + Cos[c + d*x])))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])] + (a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B)
+ 15*a^2*b^2*(19*A + 121*B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a
+ b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*((Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(
1 + Cos[c + d*x])^2 - Sin[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])))/Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])] - ((a + b)*(3705
*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c
+ d*x])]*EllipticE[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)]*(-((b*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])
)) + ((a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(
1 + Cos[c + d*x]))] + (a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A + 121*B) + 6*a^3*b*(505*
A + 209*B) + 3*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]],
(-a + b)/(a + b)]*(-((b*Sin[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))) + ((a + b*Cos[c + d*x])*Sin[c + d*x])/((a
+ b)*(1 + Cos[c + d*x])^2)))/Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))] + b*(3705*a^4*A*b + 255*a
^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]*
Tan[(c + d*x)/2] + (3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*(a +
b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sin[c + d*x]*Tan[(c + d*x)/2] - (3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 +
1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/
2]^2 + (a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A + 121*B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3*
a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x
]))]*Sec[(c + d*x)/2]^2)/(Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[1 - ((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)]) - ((a
+ b)*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(
1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*Sec[(c + d*x)/2]^2*Sqrt[1 - ((-a +
b)*Tan[(c + d*x)/2]^2)/(a + b)])/Sqrt[1 - Tan[(c + d*x)/2]^2]))/(3465*a^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c
+ d*x)/2]^2]) + ((-2*(a + b)*(3705*a^4*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b
^4*B)*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticE[
ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] + 2*a*(a + b)*(40*A*b^4 - 10*a*b^3*(3*A + 11*B) + 15*a^2*b^2*(19*A
+ 121*B) + 6*a^3*b*(505*A + 209*B) + 3*a^4*(225*A + 539*B))*Sqrt[Cos[c + d*x]/(1 + Cos[c + d*x])]*Sqrt[(a + b
*Cos[c + d*x])/((a + b)*(1 + Cos[c + d*x]))]*EllipticF[ArcSin[Tan[(c + d*x)/2]], (-a + b)/(a + b)] - (3705*a^4
*A*b + 255*a^2*A*b^3 + 40*A*b^5 + 1617*a^5*B + 3069*a^3*b^2*B - 110*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*(a + b*Cos[c + d*x])
*Sec[(c + d*x)/2]^2*Tan[(c + d*x)/2])*(-(Cos[(c + d*x)/2]*Sec[c + d*x]*Sin[(c + d*x)/2]) + Cos[(c + d*x)/2]^2*
Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x]))/(3465*a^3*Sqrt[a + b*Cos[c + d*x]]*Sqrt[Sec[(c + d*x)/2]^2]*Sqrt[Cos[(c + d*x)/2]^
2*Sec[c + d*x]])))

Maple [F(-1)]

Timed out.

hanged

[In]

int((a+cos(d*x+c)*b)^(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(13/2),x)

[Out]

int((a+cos(d*x+c)*b)^(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(13/2),x)

Fricas [F]

\[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\int { {\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} {\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac {5}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{\frac {13}{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*cos(d*x+c))^(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(13/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*b^2*cos(d*x + c)^3 + A*a^2 + (2*B*a*b + A*b^2)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^2 + 2*A*a*b)*cos(d*x + c))*sq
rt(b*cos(d*x + c) + a)*sec(d*x + c)^(13/2), x)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((a+b*cos(d*x+c))**(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)**(13/2),x)

[Out]

Timed out

Maxima [F]

\[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\int { {\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} {\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac {5}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{\frac {13}{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*cos(d*x+c))^(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(13/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*cos(d*x + c) + A)*(b*cos(d*x + c) + a)^(5/2)*sec(d*x + c)^(13/2), x)

Giac [F]

\[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\int { {\left (B \cos \left (d x + c\right ) + A\right )} {\left (b \cos \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac {5}{2}} \sec \left (d x + c\right )^{\frac {13}{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((a+b*cos(d*x+c))^(5/2)*(A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^(13/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*cos(d*x + c) + A)*(b*cos(d*x + c) + a)^(5/2)*sec(d*x + c)^(13/2), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (a+b \cos (c+d x))^{5/2} (A+B \cos (c+d x)) \sec ^{\frac {13}{2}}(c+d x) \, dx=\int \left (A+B\,\cos \left (c+d\,x\right )\right )\,{\left (\frac {1}{\cos \left (c+d\,x\right )}\right )}^{13/2}\,{\left (a+b\,\cos \left (c+d\,x\right )\right )}^{5/2} \,d x \]

[In]

int((A + B*cos(c + d*x))*(1/cos(c + d*x))^(13/2)*(a + b*cos(c + d*x))^(5/2),x)

[Out]

int((A + B*cos(c + d*x))*(1/cos(c + d*x))^(13/2)*(a + b*cos(c + d*x))^(5/2), x)